Dérivation et évaluation
Évaluez l'intégrale indéfinie :
\[ \int a^x \, dx \]où \( a \) est une constante telle que \( a > 0 \) et \( a \neq 1 \).
Nous changeons d'abord la base de l'expression exponentielle \( a^x \) :
Posons \( y = a^x \) et prenons le logarithme népérien (\( \ln \)) des deux côtés :
\[ \ln y = \ln(a^x) \]En utilisant la propriété des logarithmes \( \ln(a^x) = x \ln a \), nous réécrivons ceci sous la forme :
\[ \ln y = x \ln a \]En appliquant la fonction exponentielle des deux côtés, on obtient :
\[ y = e^{x \ln a} \]Puisque \( y = a^x \), nous obtenons l'identité :
En utilisant cette identité, l'intégrale donnée peut être réécrite ainsi :
\[ \int a^x \, dx = \int e^{x \ln a} \, dx \qquad (1) \]Nous évaluons maintenant l'intégrale du côté droit en utilisant la substitution :
Posons \( u = x \ln a \), ce qui donne \( \dfrac{du}{dx} = \ln a \). Par définition [1] [2] [3], la différentielle est \( du = \ln a \, dx \), ou \( dx = \dfrac{1}{\ln a} \, du \).
Substituons dans l'intégrale (1) :
\[ \int e^{x \ln a} \, dx = \int e^u \left( \dfrac{1}{\ln a} \right) du = \dfrac{1}{\ln a} \int e^u \, du \]Évaluons l'intégrale standard \( \int e^u \, du = e^u + c \) :
\[ = \dfrac{1}{\ln a} e^u + c \]où \( c \) est la constante d'intégration.
Revenons à la variable initiale en remplaçant \( u = x \ln a \) :
\[ = \dfrac{1}{\ln a} e^{x \ln a} + c \]Enfin, en utilisant la relation \( e^{x \ln a} = a^x \), nous arrivons à la formule d'intégration standard :
Plus de références et de liens
- Table des formules d'intégrales
- University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
- Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
- Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8